Về số đồ tư duy chương 4 Toán 10 Đại số
Sau khi đã làm quen với hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, thì phương trình bậc 2 một ẩn chính là nội dung tiếp theo mà các em sẽ học, đây cũng là nội dung thường có trong chương trình ôn thi vào lớp 10 THPT. Top lời giải sẽ hệ thống hóa kiến thức qua Sơ đồ tư duy Toán 9 chương 4 Đại số. Mời các em cùng tham khảo nhé:
Nội dung chính
- I. SƠ ĐỒ TƯ DUY TOÁN 9 CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ
- II. CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 MỘT ẨN
- III. Một số dạng toán phương trình bậc 2 một ẩn
- Video liên quan
I. SƠ ĐỒ TƯ DUY TOÁN 9 CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ
Bạn đang đọc: Về số đồ tư duy chương 4 Toán 10 Đại số
Phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
a) Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn:
c) Định lý Vi-et đảo:
– Nếu x1 + x2 = S và x1. x2 = P thì x1, x2 là nghiệm của phương trình : X2 – SX + P = 0 ( Điều kiện S2 – 4P ≥ 0 )
d ) Ứng dụng của định lý Vi-et
* Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 :
– Nếu a + b + c = 0 thì : x1 = 1 và x2 = ( c / a ) ;
– Nếu a – b + c = 0 thì : x1 = – 1 và x2 = ( – c / a ) ;
* Tìm 2 số khi biết tổng và tích
– Cho 2 số x, y, biết x + y = S và x. y = P thì x, y là nghiệm của phương trình : X2 – SX + P = 0
* Phân tích thành nhân tử
– Nếu phương trình : ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có 2 nghiệm x1, x2 thì ax2 + bx + c = a ( x – x1 ) ( x – x2 ) = 0
* Xác định dấu của những nghiệm số
– Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ), giả sử PT có 2 nghiệm x1, x2 thì S = x1 + x2 = ( – b / a ) ; P = x1x2 = ( c / a )
– Nếu P < 0 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu
- Nếu P > 0 và Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu, khi đó nếu S > 0 thì phương trình có 2 nghiệm dương, S < 0 thì phương trình có 2 nghiệm âm .
II. CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 MỘT ẨN
III. Một số dạng toán phương trình bậc 2 một ẩn
Dạng 1: Giải phương trình bậc 2 một ẩn
* Phương pháp:
+ Trường hợp 1: Phương trình bậc 2 khuyết hạng tử bậc nhất:
– Chuyển hạng tử tự do sang vế phải
– Chia cả 2 vế cho thông số bậc 2, đưa về dạng x2 = a .
+ Nếu a > 0, phương trình có nghiệm x = ± √ a
+ Nếu a = 0, phương trình có nghiệm x = 0
+ Nếu a < 0, phương trình vô nghiệm
+ Trường hợp 2: Phương trình bậc 2 khuyết hạng tử dự do:
– Phân tích vế trái thành nhân tử bằng giải pháp đặt nhân tử chung, đưa về phương trình tích rồi giải .
+ Trường hợp 3: Phương trình bậc 2 đầy đủ:
– Sử dụng công thức nghiệm, hoặc công thức nghiệm thu sát hoạch gọn để giải
– Sử dụng quy tắc tính nhẩm nghiệm để tính nghiệm so với 1 số phương trình đặc biệt quan trọng .
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a ) 2×2 – 4 = 0
b ) x2 + 4 x = 0
c ) x2 – 5 x + 4 = 0
* Lời giải:
a ) 2×2 – 4 = 0 ⇔ 2×2 = 4 ⇔ x2 = 2 ⇔ x = ± √ 2
⇒ Kết luận : Phương trình có nghiệm x = ± √ 2 .
b ) x2 + 4 x = 0 ⇔ x ( x + 4 ) = 0
⇔ x = 0 hoặc x + 4 = 0
⇔ x = 0 hoặc x = – 4
⇒ Kết luận : Phương trình có nghiệm x = 0 và x = – 4 .
c ) x2 – 5 x + 4 = 0
* Cách giải 1: sử dụng công thức nghiệm
* Cách giải 2: nhẩm nghiệm
– PT đã cho : x2 – 5 x + 4 = 0 có những thông số a = 1 ; b = – 5 ; c = 4 và ta thấy : a + b + c = 1 – 5 + 4 = 0 nên theo ứng dụng của định lý Vi-ét, ta có x1 = 1 ; x2 = c / a = 4/1 = 4
⇒ Kết luận : Phương trình có nghiệm x = 1 và x = 4 .
* Một số lưu ý khi giải phương trình bậc 2:
♦ Nếu gặp hằng đẳng thức 1 và 2 thì đưa về dạng tổng quát giải thông thường, không cần giải theo công thức, ví dụ : x2 – 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x-1 ) 2 = 0 ⇔ x = 1 .
♦ Phải sắp xếp lại đúng thứ tự những hạng tử để lập thành phương trình ax2 + bx + c = 0 rồi mới vận dụng công thức, ví dụ : x ( x – 5 ) = 6 ⇔ x2 – 5 x = 6 ⇔ x2 – 5 x – 6 = 0 ⇔ vận dụng công thức giải tiếp, …
♦ Không phải lúc nào x cũng là ẩn số mà có thể là ẩn y, ẩn z ẩn t hay ẩn a, ẩn b,… tùy vào cách ta chọn
biến, ví dụ: a2 – 3a + 2 = 0; t2 – 6t + 5 = 0.
Dạng 2: Phương trình đưa về phương trình bậc 2 bằng phương pháp đặt ẩn phụ
a) Phương trình trùng phương: ax4+ bx2+ c = 0 (a≠0)
* Phương pháp:
– Đặt t = x2 ( t ≥ 0 ), đưa PT về dạng : at2 + bt + c = 0
– Giải PT bậc 2 theo t, kiểm tra nghiệm t có thoả điều kiện kèm theo hay không, nếu có, trở lại phương trình x2 = t để tìm nghiệm x .
b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
* Phương pháp:
– Tìm điều kiện kèm theo xác lập của phương trình
– Quy đồng mẫu thức 2 vế rồi khử mẫu
– Giải phương trình vừa nhận được
– Kiểm tra điều kiện kèm theo những giá trị tìm được, loại những giá trị không thoả mãn điều kiện kèm theo, những giá trị thoả điều kiện kèm theo xác lập là nghiệm của phương trình đã cho .
Ví dụ: Giải phương trình sau:
Dạng 3: Giải biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2 có tham số
* Phương pháp:
– Sử dụng công thức nghiệm, hoặc công thức nghiệm thu sát hoạch gọn để giải ,
– Tính Δ = b2 – 4 ac theo tham số :
+ Nếu Δ > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
+ Nếu Δ = 0 : phương trình có nghiệm kép
+ Nếu Δ < 0 : phương trình vô nghiệm
Ví dụ: Giải biện luận theo m, phương trình: mx2 – 5x – m – 5 = 0 (*)
* Lời giải:
– Trường hợp m = 0 thì ( * ) trở thành : – 5 x – 5 = 0 ⇒ x = – 1
– Trường hợp m ≠ 0, ta có :
Dạng 4: Xác định tham số m để phương trình bậc 2 thoả mãn điều kiện nghiệm số
* Phương pháp
– Giải phương trình bậc 2, tìm x1 ; x2 ( nếu có )
– Với điều kiện kèm theo về nghiệm số của đề bài giải tìm m
– Bảng xét dấu nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn :
* Lưu ý: Nếu bài toán yêu cầu phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ta xét Δ > 0 ; còn nếu đề bài chỉ nói chung chung phương trình có 2 nghiệm thì ta xét Δ ≥ 0.
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+ bx + c = 0 (a≠0) có:
- Có nghiệm ( có hai nghiệm ) ⇔ Δ ≥ 0
- Vô nghiệm ⇔ Δ < 0
- Nghiệm duy nhất ( nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau ) ⇔ Δ = 0
- Có hai nghiệm phân biệt ( khác nhau ) ⇔ Δ > 0
- Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và P > 0
- Hai nghiệm trái dấu ⇔ Δ > 0 và P < 0 ⇔ a. c < 0
- Hai nghiệm dương ( lớn hơn 0 ) ⇔ Δ ≥ 0 ; S > 0 và P > 0
- Hai nghiệm âm ( nhỏ hơn 0 ) ⇔ Δ ≥ 0 ; S < 0 và P > 0
- Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0
- Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1
- Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a. c < 0 và S < 0
- Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a. c < 0 và S > 0
Ví dụ: Cho phương trình bậc 2 ẩn x tham số m: x2 + mx + m + 3 = 0 (*)
a ) Giải phương trình với m = – 2 .
b ) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả x12 + x22 = 9
c ) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả 2×1 + 3×2 = 5
* Lời giải:
a ) với m = – 2 thì ( * ) ⇔ x2 – 2 x + 1 = 0
– Ta thấy, a + b + c = 0 nên theo Vi-et PT có nghiệm : x1 = 1 ; x2 = c / a = 1 ;
– Hoặc : x2 – 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x-1 ) 2 = 0 nên có nghiệp kép : x = 1
b ) Để PT : x2 + mx + m + 3 = 0 có 2 nghiệm thì :
– Lại có x1x2 = m + 3 ⇒ ( – 3 m – 5 ) ( 2 m + 5 ) = m + 3
⇔ – 6 mét vuông – 25 m – 25 = m + 3
⇔ 6 mét vuông + 26 m + 28 = 0
⇔ 3 mét vuông + 13 m + 14 = 0
Tính Δm = 132 – 4.3.14 = 1 > 0 .
⇒ PT có 2 nghiệm phân biệt : m1 = – 7/3 ; mét vuông = – 2
– Thử lại điều kiện kèm theo : Δ ≥ 0 ;
_ Với m = – 7/3 ; Δ = 25/9 > 0 ( thoả )
_ Với m = – 2 ; Δ = 0 ( thoả )
⇒ Kết luận : với m = – 2 hoặc m = – 7/3 thì PT có 2 nghiệm thoả 2×1 + 3×2 = 5 .
Dạng 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
* Phương pháp: Vận dụng linh hoạt theo yêu cầu bài toán để lập phương trình và giải
Ví dụ: Trong lúc học nhóm Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số, sao cho 2 số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150, vậy 2 bạn Minh và Lan phải chọn nhưng số nào?
* Lời giải:
– Gọi số bạn Minh chọn là x, thì số bạn Lan chọn sẽ là x + 5
– Theo bài ra, tích của 2 số này là 150 nên ta có : x ( x + 5 ) = 150
⇔ x2 + 5 x – 150 = 0
– Phương trình có nghiệm x1 = 10 ; x2 = – 15
– Vậy có 2 cặp số thỏa là: (10; 15) và (-15; -10)
Vậy là những em đã hoàn thành xong chuyên đề Sơ đồ tư duy Toán 9 chương 4 đại số, Top giải thuật hy vọng những em đã nắm chắc triết lý và vận dụng vào những bài tập tương quan đến chương 4 : Hàm số y = ax2 và phương trình bậc hai một ẩn. Cùng theo dõi Top giải thuật và xem thêm những chuyên đề hay ở trong phân mục này nhé. Hãy đặt câu hỏi giúp phần comment để đội ngũ thầy cô giáo của Top giải thuật tương hỗ tốt hơn cho bạn .
Source: https://suachuatulanh.edu.vn
Category : Tư Vấn Hỗ Trợ
