Lý thuyết: Giới hạn của hàm số – TOÁN HỌC

Lý thuyết về giới hạn của hàm số.

A. Giới hạn hữu hạn tại điểm

1.Định nghĩa

a)Ví dụ mở đầu: Xét hàm số: $f(x) = \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}}.$

• Tại x=1 thì f(1) không xác định.

• Cho x tiến tới 1, các số liệu thu được ở bảng sau:

Ta thấy, f ( x ) hoàn toàn có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x đủ gần 1 .
Vậy : Ta nói f ( x ) tiến tới 2 khi x tiến dần tới 1, kí hiệu : $ \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 1 } \ frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { x – 1 } } = 2 USD

2. Định nghĩa

+) Cho khoảng \(K\) chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\).

\ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { \ lim } f ( x ) = L \ ) khi và chỉ khi với dãy số \ ( ( x_n ) \ ) bất kỳ, \ ( x_n ∈ K \ backslash { \ rm { \ { } } { x_0 } { \ rm { \ } } } \ ) và \ ( x_n \ rightarrow x_0 \ ), ta có : \ ( \ lim f ( x_n ) = L \ ) .

3. Các giới hạn đặc biệt

a ) \ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { \ lim } x = x_0 \ ) ;
b ) \ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { \ lim } c = c \ ) ;

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1.

a ) Nếu \ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { lim } = L \ ) và \ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { lim } \ ) \ ( g ( x ) = M \ ) thì :
\ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { lim } [ f ( x ) + g ( x ) ] = L + M \ ) ;
\ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { lim } [ f ( x ) – g ( x ) = L – M \ ) ;
\ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { lim } [ f ( x ). g ( x ) ] = L.M \ ) ;
\ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { lim } \ ) \ ( \ frac { f ( x ) } { g ( x ) } \ ) = \ ( \ frac { L } { M } \ ) ( nếu \ ( M ≠ 0 \ ) ) .
b ) Nếu \ ( f ( x ) ≥ 0 \ ) và \ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { \ lim } f ( x ) = L \ ), thì \ ( L ≥ 0 \ ) và \ ( \ underset { x \ rightarrow x_ { _ { 0 } } } { \ lim } \ sqrt { f ( x ) } = \ sqrt L \ )

3. Giới hạn một bên

a) Ví dụ mở đầu:

Xét hàm số : USD f ( x ) = \ frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { x – 1 } }. $

• Tại x=1 thì f(1) không xác định.

• Cho x tiến tới 1, với các giá trị x <1, các số liệu (màu đỏ) thu được ở bảng sau:

Ta thấy, f ( x ) hoàn toàn có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x < 1 và x đủ gần 1 .

Vậy: Ta nói f(x) tiến tới 2 khi x tiến dần tới bên trái điểm 1, kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = 2$

• Tương tự, cho x tiến tới 1, với các giá trị x >1, các số liệu (màu đỏ) thu được ở bảng sau:

Ta thấy, f ( x ) hoàn toàn có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x > 1 và x đủ gần 1 .

Vậy: Ta nói f(x) tiến tới 2 khi x tiến dần tới bên phải điểm 1, kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = 2$

b) Định nghĩa giới hạn bên phải tại điểm x0

+ ) Cho hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) xác lập trên khoảng chừng \ ( ( x_0 ; b ) \ ) .

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi dãy số \((xn) bất kì, \(x_0

c) Định nghĩa giới hạn bên trái tại điểm x0

+ ) Cho hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) xác lập trên khoảng chừng \ ( ( a ; x_0 ) \ ) .

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(a \(\lim f(x_n) = L\).

d) Định lý về giới hạn kẹp

Nếu: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = L}\\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f(x) = L}
\end{array}} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^{}} f(x) = L$

B. Giới hạn tại vô cực

a) Ví dụ mở đầu

Xét hàm số : USD f ( x ) = \ frac { 1 } { { x – 1 } }. $

• Cho x tiến tới 1, với các giá trị x <1, các số liệu (màu đỏ) thu được ở bảng sau:

Ta thấy, f ( x ) hoàn toàn có thể gần $ – \ infty USD một cách tùy ý, chỉ cần cho x < 1 và x đủ gần 1 .

Vậy: Ta nói f(x) tiến tới $ + \infty $ khi x tiến dần tới bên trái điểm 1, kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{1}{{x – 1}} = – \infty $

Tương tự ta có : $ \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { 1 ^ + } } \ frac { 1 } { { x – 1 } } = + \ infty USD

b) Định nghĩa

+ ) Cho hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) xác lập trên khoảng chừng \ ( ( a ; + ∞ ) \ ) .
\ ( \ underset { x \ rightarrow + \ infty } { \ lim } f ( x ) = L \ ) khi và chỉ khi với dãy số \ ( ( x_n ) \ ) bất kể, \ ( x_n > a \ ), \ ( x_n \ rightarrow + \ infty \ ) thì \ ( lim f ( x_n ) = L \ ) .
+ ) Cho hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) xác lập trên khoảng chừng \ ( ( – ∞ ; a ) \ ) .

\(\underset{x\rightarrow-\infty }{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n< a\), \(x_n\rightarrow -\infty\) thì \(\lim f(x_n) = L\).

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = – \infty $
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = – \infty $

Một số giới hạn đặc biệt

• \(\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} x^k= +∞\), với \(k\) nguyên dương.
• \(\underset{x\rightarrow-\infty }{lim} x^k= -∞\), nếu \(k\) là số lẻ.
• \(\underset{x\rightarrow-\infty }{lim}x^k = +∞\), nếu \(k\) là số chẵn.

C. Các quy tắc tính giới hạn hàm số

1. Quy tắc giới hạn của tích \(f(x).g(x)\)

+ Nếu \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } f \ left ( x \ right ) = \ pm \ infty \ ) và \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } g \ left ( x \ right ) = L \ ne 0 \ ) thì \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } \ left [ { f \ left ( x \ right ). g \ left ( x \ right ) } \ right ] \ ) được cho trong bảng sau :

2. Quy tắc tìm giới hạn của thương \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\)

+ Nếu \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } f \ left ( x \ right ) = L \ ne 0 \ ) và \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } g \ left ( x \ right ) = 0 \ ) và \ ( g \ left ( x \ right ) > 0 \ ) hoặc \ ( g \ left ( x \ right ) < 0 \ ) với mọi \ ( x \ in J \ backslash \ left \ { { { x_0 } } \ right \ } \ ), trong đó \ ( J \ ) là một khoảng chừng nào đó chứa \ ( { x_0 } \ ) thì \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { x_0 } } \ dfrac { { f \ left ( x \ right ) } } { { g \ left ( x \ right ) } } \ ) được cho trong bảng sau :

Download sơ đồ tư duy :

D. Cách tính giới hạn hàm số thường gặp

1.Dạng $\frac{0}{0}$ đối với giới hạn tại một điểm

Ví dụ 1:

Tính : $ \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 4 } \ frac { { { x ^ 2 } – 16 } } { { x – 4 } } $

Giải

Bước 1: Ta thế 4 vào phương trình f(x) thì sẽ được dạng  nên khẳng định đây là dạng $\frac{0}{0}$.

Bước 2: Biến đổi: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} – 16}}{{x – 4}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\left( {x – 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{x – 4}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {x + 4} \right) = 8$

Ví dụ 2.

Tính $ \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 0 } \ frac { { \ sqrt { { x ^ 2 } + 1 } – 1 } } { { { x ^ 2 } } } $

Giải

Bước 1: Ta thế 0 vào biểu thức dưới dấu lim thì sẽ thấy dạng  $\frac{0}{0}$  nên khẳng định đây là dạng  $\frac{0}{0}$.

Bước 2: Lúc này ta biến đổi nó bằng cách nhân lượng liên hợp cho cả tử và mẫu:

USD \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 0 } \ frac { { \ sqrt { { x ^ 2 } + 1 } – 1 } } { { { x ^ 2 } } } $ $ = \ lim \ frac { { \ left ( { \ sqrt { { x ^ 2 } + 1 } – 1 } \ right ) \ left ( { \ sqrt { { x ^ 2 } + 1 } + 1 } \ right ) } } { { { x ^ 2 } \ left ( { \ sqrt { { x ^ 2 } + 1 } + 1 } \ right ) } } $ $ \ mathop { = \ lim } \ limits_ { x \ to 0 } \ frac { { { x ^ 2 } } } { { { x ^ 2 } \ left ( { \ sqrt { { x ^ 2 } + 1 } + 1 } \ right ) } } $
Đến đây, chia cả tử và mẫu cho x2 ta được : $ = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 0 } \ frac { 1 } { { \ sqrt { { x ^ 2 } + 1 } + 1 } } = \ frac { 1 } { 2 } $

2.Dạng $\frac{\infty }{\infty }$

 Phương pháp: Ta chia cho x với số mũ lớn nhất của tử và mẫu.

Ví dụ 1.

Tính giới hạn sau : $ \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to + \ infty } \ frac { { 4 { x ^ 2 } – x – 1 } } { { 3 + 2 { x ^ 2 } } } $ .

Giải

Thay $ + \ infty USD và biểu thức ta thấy có dạng $ \ frac { { + \ infty } } { { + \ infty } } $ .
Lại có bậc của x lớn nhất bằng 2, ta chia cả tử và mẫu cho x2 .
USD \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to + \ infty } \ frac { { 4 { x ^ 2 } – x – 1 } } { { 3 + 2 { x ^ 2 } } } = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to + \ infty } \ frac { { 4 – \ frac { 1 } { x } – \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } } { { \ frac { 3 } { { { x ^ 2 } } } + 2 } } = \ frac { 4 } { 2 } = 2 USD

3. Dạng ${ + \infty + \infty }$

Ví dụ

Tính những giới hạn sau : $ \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to – \ infty } \ frac { { \ sqrt { 4 { x ^ 2 } – x – 1 } – x } } { { x – 1 } } $

Giải

USD \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to – \ infty } \ frac { { \ sqrt { 4 { x ^ 2 } – x – 1 } – x } } { { x – 1 } } $ $ = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to – \ infty } \ frac { { \ left | x \ right | \ sqrt { 4 { x ^ 2 } – x – 1 } – x } } { { x – 1 } } $ $ = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to – \ infty } \ frac { { – x \ sqrt { 4 – \ frac { 1 } { x } – \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } – x } } { { x – 1 } } $ $ = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to – \ infty } \ frac { { x \ left ( { – \ sqrt { 4 – \ frac { 1 } { x } – \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } – 1 } \ right ) } } { { x – 1 } } $ $ = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to – \ infty } \ frac { { – \ sqrt { 4 – \ frac { 1 } { x } – \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } – 1 } } { { 1 – \ frac { 1 } { x } } } = \ frac { { – 3 } } { 1 } = – 3 $ .

Lưu ý:

1. Học sinh rất dễ nhầm dạng $ { + \ infty + \ infty } $ và dạng $ { + \ infty – \ infty } $ .
2. Nếu những em không tinh ý mà vận dụng phép ngay phép phối hợp thì giải thuật sẽ dài hơn và dễ mắc sai lầm đáng tiếc như sau :
Ta có : $ \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to – \ infty } \ frac { { \ sqrt { 4 { x ^ 2 } – x – 1 } – x } } { { x – 1 } } $ $ = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to – \ infty } \ frac { { \ left ( { \ sqrt { 4 { x ^ 2 } – x – 1 } – x } \ right ) \ left ( { \ sqrt { 4 { x ^ 2 } – x – 1 } + x } \ right ) } } { { \ left ( { x – 1 } \ right ) \ left ( { \ sqrt { 4 { x ^ 2 } – x – 1 } + x } \ right ) } } $ $ = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to – \ infty } \ frac { { ( 4 { x ^ 2 } – x – 1 ) – { x ^ 2 } } } { { \ left ( { x – 1 } \ right ) \ left ( { \ sqrt { 4 { x ^ 2 } – x – 1 } + x } \ right ) } } $ $ = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to – \ infty } \ frac { { 3 { x ^ 2 } – x – 1 } } { { \ left ( { x – 1 } \ right ) \ left ( { \ sqrt { 4 { x ^ 2 } – x – 1 } + x } \ right ) } } $
Đến đây ta chia phân phối cả tử và mẫu cho $ { { x ^ 2 } } USD. Ta được :
USD = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to – \ infty } \ frac { { 3 – \ frac { 1 } { x } – \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } } { { \ left ( { 1 – \ frac { 1 } { x } } \ right ) \ left ( { – \ sqrt { 4 – \ frac { 1 } { x } – \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } + 1 } \ right ) } } = \ frac { 3 } { { 1. ( – 2 + 1 ) } } = – 3 USD
3. Sai lầm thường gặp .
USD = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to – \ infty } \ frac { { 3 – \ frac { 1 } { x } – \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } } { { \ left ( { 1 – \ frac { 1 } { x } } \ right ) \ left ( { \ sqrt { 4 – \ frac { 1 } { x } – \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } + 1 } \ right ) } } = \ frac { 3 } { { 1. ( 2 + 1 ) } } = 1 $ => Kết quả sai .
Nguyên nhân sai lầm đáng tiếc là khi đưa vào trong căn thì ta phải chú ý quan tâm rằng : vì USD x \ to – \ infty USD suy ra USD x < 0 $ => $ \ left | x \ right | = – \ sqrt { { x ^ 2 } } $ .
Do đó : $ \ sqrt { 4 { x ^ 2 } – x – 1 } = – \ sqrt { 4 – \ frac { 1 } { x } – \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } $ .
Một sai lầm đáng tiếc thường gặp nữa, mặc dầu có quan tâm đến USD x \ to – \ infty USD suy ra USD x < 0 $ => $ \ left | x \ right | = – \ sqrt { { x ^ 2 } } $ nhưng khi thực thi lại sai vị trí dấu “ – ” như sau :
USD = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to – \ infty } \ frac { { 3 – \ frac { 1 } { x } – \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } } { { – \ left ( { 1 – \ frac { 1 } { x } } \ right ) \ left ( { \ sqrt { 4 – \ frac { 1 } { x } – \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } + 1 } \ right ) } } = \ frac { 3 } { { – 1. ( 2 + 1 ) } } = – 1 $ => tác dụng sai .

Trên đây là một số sai lầm rất đáng tiếc. Do vậy các em phải thật sự chú ý!!!

4. Dạng ${ + \infty – \infty }$

Ví dụ

Tính gới hạn sau : $ \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to + \ infty } \ left ( { \ sqrt { { x ^ 2 } – x } – \ sqrt { { x ^ 2 } + 1 } } \ right ) USD .
Giải

Bước 1: Nhân với biểu thức liên hợp của biểu thức sau dấu lim.

Bước 2: Sau liên hợp, có dạng $\frac{\infty }{\infty }$, nên ta chia cả tử và mẫu cho x.

USD \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to + \ infty } \ left ( { \ sqrt { { x ^ 2 } – x } – \ sqrt { { x ^ 2 } + 1 } } \ right ) USD
USD = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to + \ infty } \ frac { { \ left ( { \ sqrt { { x ^ 2 } – x } – \ sqrt { { x ^ 2 } + 1 } } \ right ) \ left ( { \ sqrt { { x ^ 2 } – x } + \ sqrt { { x ^ 2 } + 1 } } \ right ) } } { { \ left ( { \ sqrt { { x ^ 2 } – x } + \ sqrt { { x ^ 2 } + 1 } } \ right ) } } $
USD = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to + \ infty } \ frac { { – x – 1 } } { { \ left ( { \ sqrt { { x ^ 2 } – x } + \ sqrt { { x ^ 2 } + 1 } } \ right ) } } $
USD = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to + \ infty } \ frac { { – 1 – \ frac { 1 } { x } } } { { \ left ( { \ sqrt { 1 – \ frac { 1 } { x } } + \ sqrt { 1 + \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } } \ right ) } } = – \ frac { 1 } { 2 } $

6. Dạng ${0.\infty }$

Ví dụ

Tính giới hạn sau : $ \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { 3 ^ + } } \ left ( { x – 3 } \ right ) \ sqrt { \ frac { x } { { { x ^ 2 } – 9 } } } $
Giải
USD \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { 3 ^ + } } \ left ( { x – 3 } \ right ) \ sqrt { \ frac { x } { { { x ^ 2 } – 9 } } } $
USD = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { 3 ^ + } } \ left ( { x – 3 } \ right ) \ frac { { \ sqrt x } } { { \ sqrt { { x ^ 2 } – 9 } } } $

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x – 3} \right)\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x – 3} .\sqrt {x + 3} }}$

USD = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { 3 ^ + } } \ frac { { \ sqrt { x – 3 } \ sqrt x } } { { \ sqrt { x + 3 } } } = 0 USD
Chúc những bạn thành công xuất sắc !
Xem thêm :

• Các phương pháp tính giới hạn dãy số.
• Các phương pháp tính gới hạn hàm số.

Source: https://suachuatulanh.edu.vn
Category : Tư Vấn Hỗ Trợ